Dans l’énigmatique Canon 1 à 2 de l’”Offrande musicale” de J. S. Bach (1747), le manuscrit montre une seule portée dont le début est joint avec la fin. Cet espace est topologiquement équivalent à un fibré en droite sur le cercle, connu sous le nom de ruban de Möbius. L’exécution simultanée des deux chemins d’aller et retour donne lieu à deux voix, dont la symétrie détermine une évolution réversible. Un univers musical est construit et puis “déconstruit” vers le silence.¹

1. Animation créée sous POV-Ray par Jos Leys. Musique jouée par xantox avec Clavecin flamand Post, manuel supérieur. [↩]

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Evolution temporelle d’une orbitale atomique hydrogénoïde (à un seul électron) avec nombres quantiques | 3, 2, 1 > selon l’équation de Schrödinger (les couleurs représentent la phase). Dans la matière atomique, les électrons qui orbitent autour du noyau ne suivent aucune trajectoire classique déterminée, mais existent pour chaque état quantique dans une orbitale, qui peut être visualisée comme le nuage des probabilités d’observer l’électron à chaque point et temps donné.

© Dean E. Dauger

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Un calcul (du latin calculus, “caillou” utilisé pour compter), est la représentation abstraite d’un processus physique en termes d’états, et de transitions entre états ou événements.

La définition des états et événements possibles est formulée dans un modèle de calcul, comme la machine de Turing ou l’automate fini. Par exemple, l’état d’une machine de Turing est la séquence complète de symboles sur son ruban plus la position de la tête et son symbole interne, et un événement est le mouvement entre deux états successifs, défini déterministiquement en termes des mouvements élémentaires de lecture, écriture, déplacement à gauche, déplacement à droite.

Afin d’effectuer un calcul, une correspondance dotée d’une certaine robustesse est d’abord établie entre un modèle de calcul et un système physique, ce qui signifie que les états et les événements dans le modèle sont utilisés pour identifier des états et des événements observés dans le système, et que la correspondance choisie est suffisamment stable à l’égard de divers types de perturbation.

Le système est ensuite préparé dans un état initial et laissé évoluer au travers d’un parcours d’événements dans l’espace des états, jusqu’à ce qu’il parvienne à un état marqué comme final. La dynamique discrète de l’espace de calcul peut être représentée par un graphe orienté, où les sommets sont des états possibles du système et les arcs sont des événements transformant un état dans un autre.

Dynamique de calculs irréversibles Cliquer l’image pour agrandir1

Réversibilité logique

Une fonction est dite réversible (du latin revertere, ‘retourner’) si, étant donné un état d’arrivée, il est toujours possible de déterminer l’état de départ, ce qui est le cas s’il y a une relation bijective entre états de départ et d’arrivée. Si l’espace des états est fini, une telle fonction est une permutation. La réversibilité logique implique la conservation de l’information.

Lorsque plusieurs états de départ correspondent à un même état d’arrivée, alors la fonction est irréversible, car il est impossible connaissant seulement l’état d’arrivée de déterminer quel était l’état de départ. En algèbre de Boole, NOT est réversible, alors que SET TO ONE est irréversible. Les fonctions booléennes à deux variables comme AND, OR, XOR sont aussi irréversibles, car elles mettent en correspondance 2² états de départ avec 2¹ états d’arrivée, ainsi de l’information est perdue dans la fusion des chemins, comme montré dans le graphe suivant d’un calcul NAND dont l’évolution inverse n’est plus déterministe.

Le côté droit essaie de représenter la correspondance inverse du côté gauche

Réversibilité physique

Les lois physiques connues sont réversibles. Ceci est le cas aussi bien pour la mécanique classique, basée sur la dynamique lagrangienne/hamiltonienne, et pour la mécanique quantique standard, où les systèmes fermés évoluent selon des transformations unitaires, qui sont bijectives et inversibles. En conséquence, lorsqu’un système physique effectue un calcul irréversible, la correspondance avec le modèle de calcul indique que le système ne peut rester fermé.

Plus précisément, puisqu’un calcul irréversible réduit l’espace des états physiques porteurs d’information, leur entropie doit diminuer en augmentant l’entropie des états non porteurs d’information, représentant la partie thérmique du système.

En 1961 Landauer étudia cet argument thérmodynamique, et proposa le principe suivant : si un système physique effectue un calcul classique logiquement irréversible, il doit augmenter l’entropie de l’environnement avec une quantité minimum de chaleur dégagée de kT x ln(2) par bit perdu (où k est la constante de Boltzmann et T la température, c’est à dire environ 3 x 10^-21 joules à température ambiante),² ce qui met l’accent sur deux faits :

• l’irréversibilité logique d’un calcul implique l’irréversibilité physique du système qui l’effectue (”l’information est physique”);
• les calculs logiquement réversibles peuvent être au moins en principe intrinsiquement non dissipatifs (ce qui est en relation avec le théorème de Carnot sur les moteurs thérmiques, montrant que les moteurs les plus efficaces sont réversibles, et le théorème de Clausius, attribuant un changement d’entropie nul aux processus réversibles).

Inclusion réversible de calculs irréversibles

Landauer remarqua également que tout calcul irréversible peut être transformé en un calcul réversible par son inclusion dans un calcul plus étendu dans lequel aucune information n’est perdue, c’est à dire en reproduisant chaque sortie dans l’entrée (ajout de sources) et chaque entrée dans la sortie (ajout de puits).

Par exemple, la fonction irréversible NAND vue plus haut peut être incorporée dans la bijection suivante, également connue comme porte de Toffoli³ (la fonction d’origine est marquée en rouge) :

Les bits d’information supplémentaires, tels des fils d’Ariane, assurent la possibilité d’inverser tout parcours de calcul : ils sont les déchets de la voie avant et le programme de la voie arrière. Au lieu de les perdre dans l’environnement, ils sont maintenus dans l’espace contrôlé de calcul.

Les portes de Toffoli sont des fonctions primitives réversibles et universelles, ce qui signifie que toute fonction réversible peut être construite en termes de portes de Toffoli. La porte de Fredkin est un autre exemple de primitive réversible et universelle. Elle échange ses deux entrées en fonction de l’état d’une troisième entrée de contrôle, permettant ainsi d’incorporer tout calcul dans un routage conditionnel transportant des signaux conservés.

Certains aiguillages de voies ferrées sont réversibles

Modèles de calcul réversible

Le modèle balistique, inventé par Fredkin et Toffoli,⁴ a été l’un des premiers modèles de calcul visant la mise en oeuvre avec des composants physiques réversibles. Basé sur les lois de la mécanique classique, il est équivalent au formalisme de la théorie cinétique des gaz parfaits. La présence de sphères rigides en mouvement à des points spécifiés est définie comme 1, leur absence comme 0. Des interactions par collision à angle droit permettent la construction de différentes fonctions primitives, comme par exemple cette porte universelle à 2 entrées et 3 sorties introduite par Feynman,⁵ qui proposa également avec Ressler une version balistique de la porte de Fredkin.

Porte de Feynman

Dans la pratique, un calcul effectué par ces sphères serait très peu fiable, car l’instabilité résultante des plus petites perturbations générerait rapidement des écarts chaotiques, produisant une sortie saturée d’erreurs. Les erreurs peuvent être corrigés (par exemple, par l’ajout de potentiels pour stabiliser les chemins), toutefois le processus de correction des erreurs est lui même irréversible et dissipatif - car il doit effacer l’information erronée. Par conséquent, la correction des erreurs semble être le seul aspect du calcul définissant une limite inférieure à la dissipation d’énergie.

Une approche plus stable est celle du modèle de calcul Brownien,⁶ où le bruit thermique est au contraire autorisé à interagir librement avec un système de calcul proche de l’équilibre. Des barrières d’énergie potentielle définissent les chemins d’un espace de calcul, dans lequel le système se promène au hasard jusqu’à atteindre un état final. L’ARN polymerase, l’enzyme impliqué dans la transcription de l’ADN, est un exemple de machine brownienne effectuant une “copie de ruban” de manière logiquement réversible. Le processus de réplication de l’ADN suit également un mécanisme similaire, mais ajoute une logique irréversible de correction d’erreurs.

Renversement de Lecerf-Bennett

La méthode d’inclusion est cependant insuffisante pour construire un ordinateur universel physiquement réversible, puisque la quantité croissante d’information devant être reproduite pour chaque événement saturerait toute mémoire finie. Ensuite, le calcul prendrait fin - à moins que la mémoire ne soit irréversiblement effacée, mais alors la dissipation serait simplement reportée, et non pas évitée.

Cela semblait exclure la possibilité de construire des ordinateurs réversibles, jusqu’à que Bennett ⁷ ne trouve une solution remarquable (un travail antérieur de Lecerf⁸ avait anticipé sa méthode formelle), montrant qu’il est possible au moins en principe d’effectuer une quantité illimitée de calculs sans aucune dissipation d’énergie.

Le système réversible doit calculer la fonction inclusive deux fois : la première fois “en avant” pour obtenir et sauvegarder le résultat du calcul, et la deuxième fois “en arrière”, comme un calcul image-miroir de la fonction inverse, de-calculant la première étape et retournant le système fermé dans son état initial.

M. C. Escher, Cygnes (1956).
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L’irréversibilité logique et le démon de Maxwell

En 1867 Maxwell proposa une expérience de pensée au sujet d’un “démon” fini et microscopique, capable d’observer le mouvement individuel des molécules. Ce démon surveille une petite porte qui sépare deux conteneurs remplis de gaz à la même température. Quand une molécule approche, le démon vérifie sa vitesse et ouvre ou ferme la porte, de manière à envoyer les molécules lentes dans un conteneur (qui se refroidit), et les molécules rapides dans l’autre conteneur (qui se chauffe), en violation apparente de la 2ème loi de la thérmodynamique.

Une première étape importante vers la solution de ce paradoxe controversé fut franchie en 1929 par Szilard⁹ qui, après avoir évité tout piège dualiste en substituant le démon intelligent par une simple machine, suggéra que la comptabilisation correcte de l’entropie est restaurée dans le processus de mesure de la position des molécules. Cette explication est devenue standard jusqu’en 1981, lorsque Bennett montra⁶ que l’étape fondamentalement dissipative n’est étonnamment pas la mesure (qui peut être effectuée réversiblement) mais l’étape logiquement irréversible de l’effacement de la mémoire du démon, pour faire de la place aux mesures suivantes.

Réversibilité dans le calcul quantique

Le calcul quantique profite des effets physiques de superposition et d’enchevêtrement, qui conduisent à un paradigme de calcul qualitativement nouveau.¹⁰ Dans les modèles de calcul quantique, tous les événements se produisent par des transformations unitaires, ainsi toutes les portes logiques quantiques sont réversibles.

Les systèmes quantiques sont moins sensibles à certains types d’erreur affectant les calculs classiques, car leur spectre discret interdit les trajectoires chaotiques. Par exemple un modèle balistique quantique est plus fiable que sa contrepartie classique.

Toutefois, les systèmes quantiques sont affectés par de nouvelles sources d’erreur, conséquence des interactions avec l’environnement, tels que la perte de cohérence quantique. Il est possible de corriger des erreurs quantiques génériques jusqu’à une limite,¹¹ de manière à reconstruire un état quantique exempt d’erreur, au prix de l’accomplissement d’un effacement quantique irréversible de l’information quantique erronée.

Je remercie Charles H. Bennett pour ses commentaires stimulants sur le manuscrit.

1. A. Wuensche, M. Lesser, “The global dynamics of cellular automata“, Ref Vol. I of the Santa Fe Institute Studies in the Sciences of Complexity. Addison-Wesley (1992) [Images de graphes d’états d’automates cellulaires]. [↩]
2. R. Landauer, “Irreversibility and heat generation in the computing process“, IBM Journal of Res. and Dev., 5:3, 183 (1961) [Irréversibilité logique, principe de Landauer]. [↩]
3. T. Toffoli, “Reversible computing“, Tech. Memo MIT/LCS/TM-151, Mit Lab. for Comp. Sci. (1980) [Porte de Toffoli, automate réversible]. [↩]
4. E. Fredkin, T. Toffoli, “Conservative logic“, International Journal of Theoretical Physics, 21:3-4, 219-253 (1982) [Modèle de calcul balistique]. [↩]
5. R. P. Feynman, “Feynman lectures on computation (1984-1986)”, Perseus Books (2000) [↩]
6. C. H. Bennett, “The thermodynamics of computation - a review“, International Journal of Theoretical Physics, 21:12, 905-940 (1982) [Modèle de calcul Brownien; irréversibilité logique et démon de Maxwell]. [↩]
7. C. H. Bennett, “Logical reversibility of computation“, IBM Journal of Res. and Dev., 17:6 525 (1973). [Dans ce papier, lié au problème de la connexion entre calcul et génération de chaleur explorée par Landauer, Bennett proposa la méthode de “sauvegarde du résultat et renversement” et prouva que tout calcul irréversible peut être simulé réversiblement]. [↩]
8. Y. Lecerf, “Machines de Turing réversibles“, Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de L’académie des Sciences 257:2597-2600 (1963). [Dans ce papier mathématique, sans lien avec la question de l’irréversibilité physique, Lecerf a cherché à concevoir une machine de Turing réversible. C’est le premier ouvrage proposant la méthode de sauvegarde de l’histoire du calcul pour ensuite la “décalculer”, bien qu’il ait eu initialement peu d’impact et qu’il fut ‘découvert’ seulement après les résultats de Bennett, peut être car il ne fut pas publié en anglais et qu’il ne fut pas très appuyé par Lecerf. Il a une faille mineure, c’est à dire l’inverse d’un quintuple read-write-shift est un quintuple de type différent, à savoir shift-read-write]. [↩]
9. L. Szilard, “Über die Entropieverminderung in einem thermodynamischen System bei Eingriffen intelligenter Wesen“, Journal Zeitschrift für Physik, 53, 840-856 (1929); trad. anglaise “On the decrease of entropy in a thermodynamic system by the intervention of intelligent beings” in Behavioral Science, 9:4, 301-310 (1964). [↩]
10. D. Deutsch, “Quantum Theory, the Church-Turing Principle, and the Universal Quantum Computer“, Proc. Roy. Soc. Lond., A400, 97–117 (1985). [Fondation du modèle de calcul quantique, machine de Turing quantique universelle] [↩]
11. A. R. Calderbank, P. W. Shor, “Good quantum error-correcting codes exist“, Phys. Rev. A 54, 1098-1105 (1996). [↩]

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Les surfaces liquides sont tendues par les forces intermoléculaires, qui sont déséquilibrées sur le bord, produisant la tension superficielle. Lorsque des liquides avec différente tension superficielle rentrent en contact, ces forces causent un écoulement connu sous le nom d’effet Marangoni,¹ qui est également à l’origine des beaux motifs dans l’ancien art japonais du Suminagashi (”encre flottante”). Dans cette image, une couche d’acide oléique (agent tensioactif avec une tension superficielle de 32,5 mN/m) s’étend spontanément sur environ 2,5 mm au-dessus d’une couche de glycerol (dont la tension superficielle est de 63,4 mN/m). Des efforts capillaires et de Marangoni causent des fortes variations de l’épaisseur du liquide, produisant un écoulement arborescent. Les lignes de contour sont des franges d’interférence.

Cliquer l’image pour agrandir²

1. C. Marangoni, “Über die Ausbreitung der Tropfen einer Flüssigkeit auf der Oberfläche einer anderen”, Ann. Phys. Leipzig, 143:337-354 (1871). [↩]
2. © B. J. Fischer, A. A. Darhuber, S. M. Troian, Department of Chemical Engineering, Princeton University [↩]

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Les nuages terrestres sont le résultat d’interactions extraordinairement complexes entre eau et air, avec plusieurs mécanismes de rétroaction combinant les effets de la dynamique des fluides et de la thérmodynamique.¹

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Le type de nuages convectifs connus sous le nom de cumulus sont produits par les vents verticaux qui ont lieu dans des régions d’air chaud et humide, par le principe d’Archimede. Ce soulevement rapide a comme conséquence l’expansion adiabatique et le refroidissement de l’air, et la formation conséquente de gouttelettes d’eau. Leur distribution irregulière disperse la lumière du soleil géometriquement dans toutes les directions, produisant l’aspect blanc lumineux typique de la neige, évoluant en nuances de gris de par leur épaisseur optique. Chaque nuage est de vie courte, durant environ 15 minutes en moyenne.

1. H. R. Pruppacher, J. D. Klett, “Microphysics of clouds and precipitation“, Springer (1997); R. A. Houze, “Cloud Dynamics“, Academic Press (1994) [↩]
2. © 2004 Sarah Robinson, Flow Visualization Course, University of Colorado [↩]

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Des scientifiques de l’Université de Rochester et le J. Craig Venter Institute ont découvert une copie du génome entier de Wolbachia, un parasite bactérien, résidant à l’intérieur du génome de son espèce hôte Drosophila Ananassae, la mouche des fruits. Pour isoler le génome du parasite, les mouches ont été alimentées avec un antibiotique simple, tuant le Wolbachia, mais les gènes de Wolbachia étaient toujours présents. Les scientifiques ont enfin constaté que les gènes résidaient directement à l’intérieur du deuxième chromosome de l’insecte, et que certains de ces gènes sont même transcrits dans les mouches non infectées, de sorte que des copies de la séquence sont faites dans des cellules qui pourraient être employées pour produire des protéines de Wolbachia.

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Des physiciens de l’Université du Texas à Austin ont trouvé que “un jet liquide peut rebondir sur une surface du même liquide en mouvement horizontal par rapport au jet. Les précédentes observations de jets rebondissants (ex. effet Kaye) concernent uniquement des liquides non-Newtoniens, alors que dans ce cas ils sont observés pour plusieurs liquides Newtoniens, incluant de l’huile de paraffine liquide versée à la main. Une couche d’air sépare le jet rebondissant de la surface, et le mouvement relatif renouvelle la couche d’air. Des jets avec un ou deux rebonds sont stables pour une gamme de viscosité, débit et vitesse mutuelle. Le phénomène montre une hystérésis et plusieurs état d’équilibre”.¹

1. M. Thrasher, S. Jung, Y. Kwong Pang, C. Chuu, H. L. Swinney, “The Bouncing Jet: A Newtonian Liquid Rebounding off a Free Surface“, arXiv:0707.1721v1 [physics.flu-dyn] (2007). [↩]

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De ACQAO grâce au Pontife Quantique: “Des théoriciens du ARC Centre of Excellence for Quantum-Atom Optics (ACQAO) ont proposé un protocole de téléportation des états quantiques de groupes d’atomes, basé sur la conversion de l’état quantique en lumière et vice-versa. Le protocole se fonde sur la disponibilité, de la part de l’expéditeur et du récepteur, d’un réservoir d’atomes ultrafroids, connu sous le nom de condensat de Bose-Einstein [et] évite le besoin de partager une intrication quantique car l’état téléporté n’est jamais mesuré”.¹

1. A. S. Bradley, M. K. Olsen, S. A. Haine, J. J. Hope, “Teleportation of massive particles without shared entanglement“, arXiv:0706.0062v1 [quant-ph] (2007). [↩]

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Animation montrant l’interaction de quatre charges de masse égale¹, deux positives et deux négatives, selon l’approximation de l’électromagnétisme classique. Les particules interagissent par la force de Coulomb, par le biais du champ électrique réprésenté en jaune. Une force répulsive de Pauli d’origine quantique, qui devient très intense à une distance critique d’environ le rayon des sphères montrées dans l’animation, empêche l’effondrement des charges sur un même point. En plus, le mouvement des particules est atténué par un terme proportionnel à leur vitesse, leur permettant de “s’installer” dans des états stables (ou méta-stables).

Lorsque les charges évoluent depuis l’état initial, la première chose qui se produit (très rapidement, puisque l’attraction de Coulomb entre charges non équilibrées est très forte) est qu’elles s’associent en dipôles. Ensuite, il reste une (beaucoup plus faible) interaction entre dipôles voisins (force de van der Waals). Bien qu’en principe elle puisse être attractive ou répulsive, il y a un couple qui tourne les dipôles de sorte qu’elle est attractive. Ce mécanisme lie les molécules de certaines substances dans un état solide.

1. © 2004 MIT TEAL/Studio Physics Project, John Belcher [↩]

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De PhysicsWeb News: “L’existence d’une particule hypothétique appelée axion a été mise davantage en doute maintenant que l’équipe qui avait précédemment annoncé sa découverte n’a pas pu reproduire ses résultats. Les physiciens travaillant à l’expérience PVLAS en Italie disent que la rotation minuscule de la polarisation de la lumière laser qu’ils ont rapporté l’année dernière ne soutient pas l’existence de l’axion, mais est plutôt un artefact de la façon dont l’expérience avait été réalisée”¹.

1. E. Zavattini et al., “New PVLAS results and limits on magnetically induced optical rotation and ellipticity in vacuum“, arXiv:0706.3419v1 (2007) [↩]

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